ПОЛОСА С ПОСТОЯННЫМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ НА РАЗРЕЗЕ: ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ

В журнале «Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik» (Web of Science Q3, Scopus Q2, Impact Factor JCR: 1.103) издательства Wiley-VCH вышла статья «A strip with constant stresses on the cut: exact solutions». Среди авторов — сотрудники ИТПЗ РАН: старший научный сотрудник, к.ф.-м.н. А.П. Кержаев и старший научный сотрудник, к.ф.-м.н. И.В. Меньшова.

В статье построены точные решения трех краевых задач теории упругости для бесконечной полосы с центральным поперечным разрезом, на котором известны постоянные нормальные напряжения (четно-симметричная деформация). Рассмотрены три варианта однородных граничных условий на сторонах полосы: 1) свободные стороны, 2) жестко защемленные стороны, 3) на сторонах полосы имеются одинаковые ребра жесткости. Решения всех задач представляются в виде рядов по собственным функциям Папковича–Фадля, коэффициенты которых определяются по простым замкнутым формулам.

Краевые задачи теории упругости для бесконечной полосы с различными граничными условиями на ее сторонах и с центральным поперечным разрезом, на котором заданы постоянные нормальные напряжения, были предметом многочисленных исследований. Однако точных решений, насколько нам известно, построить не удалось. Практически все решения вначале сводились к сингулярным интегральным уравнениям, а затем – к приближенному решению соответствующей бесконечной системы алгебраических уравнений.

В этой статье, следуя методологии, рассмотренной в предыдущих публикациях авторов, проблема рассматривается как задача о контакте двух полуполос, когда на их стыке задан разрыв продольных перемещений. Длинные стороны полосы a) свободны, b) жестко защемлены, c) имеют ребра жесткости, работающие только на растяжение — сжатие. Все решения представляются рядами по собственным функциям Папковича–Фадля, которые точно удовлетворяют заданным однородным граничным условиям на сторонах полосы. При этом в граничных условиях на стыке полуполос (справа и слева) будут участвовать две полные минимальные системы базисных функций, объединение которых не минимально и, следовательно, не имеет биортогональной системы функций. Введением двух аналитических функций из неминимальной системы функций выделяется минимальная. К ней строится биортогональная система, с помощью которой легко находятся неизвестные коэффициенты разложений в ряды по собственным функциям Папковича–Фадля.

В ходе исследования было замечено, что кривые, соответствующие решению для полосы с ребрами жесткости, занимают промежуточное положение между решениями для свободной и жестко защемленной полос.

С увеличением длины трещины (т.е. параметра a) сходимость рядов для напряжений ухудшается, что особенно заметно при малых значениях |x|. Кроме того, при x, очень близких или равных нулю, и значительных a (начиная примерно с a > 0) важна высокая точность определения собственных чисел λk. При a ≤ 0.5 различия между p и sx(0.01) весьма малы.

В статье была рассмотрена упрощенная модель подкрепленной полосы с поперечной трещиной, у которой ребра жесткости работают только на растяжение — сжатие. Можно учесть также изгибную жесткость ребра.

Исследование выполнено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований совместно с Китайским научным фондом (проект № 20-51-53021).

Источник: Kovalenko, M.D., Menshova, I.V., Kerzhaev, A.P., Yu, G.: A strip with constant stresses on the cut: exact solutions. Z. Angew. Math. Mech. e202100431 (2022). DOI: 10.1002/zamm.202100431.