В журнале «Mathematics and Mechanics of Solids» (Web of Science Q2, Scopus Q2, Impact Factor JCR: 2.040) издательства Sage Publications вышла статья «An inhomogeneous problem for an elastic half-strip: An exact solution». Среди авторов — сотрудники ИТПЗ РАН: ведущий научный сотрудник, д.ф.-м.н. М.Д. Коваленко, старший научный сотрудник, к.ф.-м.н. И.В. Меньшова и старший научный сотрудник, к.ф.-м.н. А.П. Кержаев.
В статье в виде рядов по собственным функциям Папковича–Фадля построены точные решения двух неоднородных краевых задач теории упругости для полуполосы со свободными длинными сторонами: 1) торец полуполосы свободен, 2) торец полуполосы жестко защемлен. Вначале строится решение неоднородной задачи для бесконечной полосы. Затем к этому решению добавляются соответствующие решения для полуполосы, с помощью которых удовлетворяются граничные условия на торце. Для решения неоднородной задачи в полосе используется соотношение ортогональности Папковича.
Исследование выполнено при поддержке Российского научного фонда (проект № 19-71-00094) и Российского фонда фундаментальных исследований совместно с Китайским научным фондом (проект № 20-51-53021).
Неоднородным краевым задачам теории упругости (уравнения равновесия с правой частью) посвящено значительно меньше публикаций, чем однородным. В определенной степени это связано с тем, что процесс их решения весьма трудоемок, а формулы, описывающие решение, достаточно сложны. Кроме того, для построения решений требуются значительные математические навыки.
В предлагаемой статье получены точные решения для полуполосы со свободными длинными сторонами. Внешняя поверхностная нагрузка действует внутри полуполосы в направлении ее оси (четно-симметричная деформация). Торец полуполосы свободен (напряжения равны нулю) или жестко защемлен (перемещения равны нулю).
Рис. 1. Схема неоднородной задачи для полуполосы со свободным торцом. |
Рис. 2. Схема неоднородной задачи для полуполосы с жестко защемленным торцом.
|
Вначале строится решение неоднородной задачи для бесконечной полосы. Затем к этому решению добавляются соответствующие решения для полуполосы, с помощью которых удовлетворяются граничные условия на торце. Решение неоднородной задачи в полосе строится с использованием соотношения ортогональности Папковича, что быстро приводит к цели. Это решение представляется в виде рядов по собственным функциям Папковича–Фадля. Соотношение ортогональности Папковича остается справедливым и для других типов однородных граничных условий, в частности, когда стороны полосы жестко защемлены. Поэтому данным методом можно находить простые точные решения для широкого круга неоднородных краевых задач в полосе с различными однородными граничными условиями на ее длинных сторонах. Эти решения также представляются рядами по собственным функциям Папковича–Фадля.
Показана эквивалентность решения задач с разрывами продольных нормальных напряжений и неоднородных задач на примере решения неоднородной задачи теории упругости для полуполосы со свободными длинными сторонами.
Показано, что в случае защемленного торца напряжения не имеют особенности в угловых точках полуполосы, в отличие от соответствующего решения для бесконечного прямоугольного клина. Причина заключается в том, что в решении для клина тип граничных условий меняется при движении вдоль одной координатной линии (это становится очевидным для развернутого клина).
Решения всех задач являются точными. Они представляются рядами по собственным функциям Папковича–Фадля, теория разложений по которым базируется на принципиально новом математическом аппарате, основу которого составляет преобразование Бореля в классе квазицелых функций экспоненциального типа (Kerzhaev A.P., Kovalenko M.D., Menshova I.V.: Borel transform in the class W of quasi-entire functions. Complex Anal. Oper. Theory 12(3), 571–587 (2018). doi: 10.1007/s11785-017-0643-y).
Источник: Kovalenko M.D., Menshova I.V., Kerzhaev A.P., Yu G. An inhomogeneous problem for an elastic half-strip: An exact solution // Mathematics and Mechanics of Solids, 2021. DOI: 10.1177/1081286521996418.