Вычислительные задачи геофизической магнитогидродинамики
Руководитель д.ф-м.н Желиговский В.А.
Геомагнитное поле — необходимое условие существования жизни на поверхности Земли. Оно препятствует срыву атмосферы Земли солнечным ветром и попаданию на нее потоков высокоэнергетических космических частиц. По современным научным представлениям, магнитное поле Земли, как и многих других астрофизических объектов, создается конвекцией электропроводного расплава во внешнем ядре. Это динамический процесс; по палеомагнитным данным раз в несколько сот тысяч — миллион лет происходят инверсии геомагнитного поля, в которых его полярность изменяется на противоположную. Остается ли магнитное поле на протяжении всей инверсии достаточно сильным для сохранения своих рассеивающих и защитных свойств, неизвестно. По результатам палеомагнитных исследований, 795 тысяч лет назад начался период неустойчивости магнитного поля, продолжавшийся 22 тысячи лет, в течение которых проходили увеличение и уменьшение напряженности поля, экскурсии магнитного полюса и коллапс дипольной компоненты поля, после чего 773 тысячи лет назад инверсия закончилась и началась современная эпоха Брюнес постоянной ориентации геомагнитного диполя. Некоторые измерения свидетельствуют, что в настоящее время, возможно, наблюдается начало новой инверсии (высказываются и противоположные точки зрения, см., например, Brown et al., PNAS 115, 2018, 5111-5116, www.pnas.org/cgi/doi/10.1073/pnas.1722110115 PNAS). Это придает практическую значимость и актуальность углубленному изучению процесса инверсии и механизмов гидромагнитной генерации магнитного поля как в линейной, так и нелинейной постановках. С этой целью, в данном проекте будут рассмотрены следующие задачи геофизической магнитогидродинамики (МГД). (1) Моделирование процесса инверсии посредством численного решения уравнений конвективного гидромагнитного динамо в плоском вращающемся слое. Постановка задачи в плоском слое с условием периодичности в горизонтальных направлениях позволяет выделить фундаментальные свойства решений, не связанные со специальной геометрией (сферический слой) объема электропроводного расплава во внешнем ядре Земли, а также существенно упрощает вычисления. Цель работы — численно найти и изучить достаточно большое число случаев инверсии магнитного поля, чтобы получить представление об их различных возможных сценариях. Направление оси вращения слоя будет варьироваться от вертикального (перпендикулярного слою жидкости) до горизонтального (параллельного слою) для моделирования процесса генерации в сегментах внешнего ядра, расположенных на различных широтах, от приполярных до приэкваториальных, соответственно. В отличие от известных в литературе подходов, мы не планируем приближаться как можно ближе к области параметров, характеризующих условия во внешнем ядре Земли, а будем использовать величины, при которых качественно поведение решений уже подобно поведению геомагнитного поля, но которые не требуют чрезмерных вычислительных ресурсов (времени расчета одного режима и пространственного разрешения). Этот подход даст возможность исследовать достаточно детально зависимость поведения системы от параметров задачи, и, в частности, выявить один или несколько характерных типов поведения магнитного поля во время инверсии. Ранее такая задача исследователями не ставилась. С точки зрения теории динамических систем, инверсия связана с симметрией системы относительно обращения магнитного поля B→-B и наличием гетероклинических циклов, связывающих слабо-неустойчивые МГД режимы, в которых магнитное поле противоположно. Сценарий (последовательность бифуркаций), приводящий к инверсиям магнитного поля, был предложен в работе Podvigina (GAFD, 97, 2003, 149-174), где также приведен пример системы, в которой этот сценарий реализован. Поиск режимов, содержащих инверсии магнитного поля, мы планируем проводить, следуя идеям этой работы. Опора на математическое понимание природы инверсий облегчит поиск режимов конвективного динамо, в которых они наблюдаются, и также является оригинальной чертой планируемого исследования. Расчет существенного числа инверсий, который становится возможен, когда расчеты проводятся для умеренных величин параметров, позволит рассмотреть задачу о поиске предвестников геомагнитных инверсий. Согласно современной научной парадигме, катастрофические события в сложной нелинейной системе часто являются кульминацией последовательности малых изменений в ней. Таким образом, прогностический интерес может представлять исследование процессов подготовки инверсии на достаточно малых пространственных и временных масштабах. В качестве примера отметим, что магнитные данные последнего периода стабильной полярности достоверно указывают на экскурсии геомагнитного поля, которые можно понимать как неполные инверсии, и в первом приближении продолжительность и масштаб экскурсий информативны при сравнении моделей и реальности. Известно, что задача прямого поиска предвестников в реальных палео- и археомагнитных магнитных данных сегодня выглядит нереалистичной, однако это обстоятельство может быть следствием физической специфики этих данных: они имеют очень ограниченное разрешение по времени и пространству деталей главного магнитного поля Земли, — что не исключает возможность существования предвестников, связанных с поведением поля на малых масштабах. Напротив, численные решения дают возможность изучать явление инверсии на малых масштабах и вычислять временные ряды для любого мелкомасштабного параметра. Более того, такие же временные ряды можно строить по результатам измерений реального геомагнитного поля, поэтому, по крайней мере в принципе, в дальнейшем можно будет определить, прогнозирует ли такой гипотетический предвестник инверсию геомагнитного поля по поведению главного магнитного поля в настоящее время (определенные сложности могут быть связаны с выделением из измеренного поля компоненты, относящейся ко главному полю). (2) Еще одним направлением для исследования указанных выше пространственно-периодических решений будет сравнительное исследование их разложений по функциональным базисам. В настоящее время имеется некоторое количество вычислительных решений уравнений магнитной гидродинамики в их сферической версии (имитирующих реальную геометрию строения Земли). Появилась принципиальная возможность оценки нетривиальных асимптотик коэффициентов разложения поля по пространственным масштабам (например, разложений по сферическим гармоникам). Сравнение с аналогичными разложениями решений для пространственно-периодических (и квазипериодических) течений может быть основой для общего характеристического описания различных режимов магнитного динамо. (3) Задаваемые в рамках кинематического подхода поля скорости электропроводной жидкости призваны имитировать ее турбулентные течения. При рассмотрении процессов, на которые не влияют размеры содержащего жидкость контейнера, часто поле скорости считают стационарным и пространственно-периодическим. Однако течения на масштабах турбулентности стохастичны, а не периодичны по пространству. В данной задаче мы сделаем шаг навстречу турбулентности, задавая квазипериодичное (т.е. имеющее две несоизмеримые пространственные частоты по каждому координатному направлению) течение. При этом оно может иметь стационарное, периодическое по времени (тогда для определения магнитных мод и их инкрементов роста необходимо решить задачу Флоке) или квазипериодическое по времени (т.е., имеющее две или более несоизмеримые частоты) поле скорости, что также ближе по свойствам к турбулентным течениям. Для решения задачи на собственные значения для оператора магнитной индукции для определения инкремента роста доминирующей магнитной моды (задача кинематического динамо) применимы псевдоспектральные методы с разложением магнитной моды в индивидуальный ряд Фурье по каждой пространственной и временной (когда течение нестационарно) базисной частоте. При выборе таких полей скорости определенной структуры задача оказывается естественно параллелизуема для ведения расчетов на кластерах. Будут проведены расчеты как короткомасштабных динамо, так и длинномасштабных, где действуют механизмы магнитного α-эффекта или отрицательной вихревой диффузии. (4) Классическое понятие α-эффекта основано на предположении о существенном разделении пространственных масштабов между возмущаемым состоянием и генерируемой модой неустойчивости (например, между магнитной модой и генерирующем течением в задаче кинематического динамо). Мы изучим, насколько верно это предположение. Пространственно-периодическое течение может генерировать квазипериодические магнитные поля типа блоховских мод, имеющих вид произведения периодического поля на плоскую волну с несоизмеримыми пространственными периодами; такой же вид могут иметь и моды неустойчивости периодических гидродинамических и МГД состояний. Сомножители, представляющие собой плоскую волну, имеют вид гармоник Фурье. В задаче на собственные значения, описывающей моды неустойчивости и их инкременты роста, при дифференцировании эти гармоники дают новые члены, линейные и квадратичные по волновому вектору плоской волны, и сокращаются из уравнений. Соответственно, задача преобразуется в задачу на собственные значения для поля такой же пространственной периодичности, что и у поля скорости течения в задаче кинематического динамо, или у возмущаемого состояния в задачах гидродинамической и МГД неустойчивости, что сильно упрощает вычисления. Вычисляя максимум инкремента роста возмущения по волновому вектору плоской волны, можно узнать, насколько велико разделение пространственных масштабов между доминирующей модой неустойчивости и возмущаемым состоянием. В задачах (3) и (4) будут рассмотрены генерирующие течения и возмущаемые МГД состояния, у которых будут псевдослучайные коэффициенты разложений в ряд Фурье и заданные энергетические спектры различного типа: экспоненциально затухающий или колмогоровский, или состоящие из нескольких ненулевых гармоник Фурье. Так будет моделироваться фрагмент турбулентного МГД состояния в определенном диапазоне пространственных масштабов: в диссипативном и инерционном интервалах, а также на масштабах крупных вихрей. Постановки всех описанных задач оригинальны и находятся на переднем крае науки, а их решения, которые предполагается построить в процессе выполнения проекта, будут в полной мере характеризоваться научной новизной.