Кинематическое динамо

Кинематическое динамо

Отсутствие спиральности у течения несжимаемой электропроводной жидкости не препятствует генерации коротко- или длинномасштабного магнитного поля и наличию у течения магнитного α-эффекта или отрицательной вихревой диффузии.

Построено 6 семейств трехмерных стационарных пространственно-периодических течений U несжимаемой электропроводной жидкости, плотность кинетической спиральности которых равна нулю: U rot U =0 в каждой точке пространства. Течения 4 семейств описаны замкнутыми формулами. Течения 4 семейств (другая четверка!) имеют нулевой спектр спиральности: Ûn(in×Ûn)=0 для всех n, где Ûn — коэффициенты Фурье поля скорости U, а черта обозначает комплексное сопряжение. Численно показано, что модельные течения пяти из этих семейств способны кинематически генерировать как коротко-, так и длинномасштабные магнитные поля, причем длинномасштабные — с помощью как магнитного α-эффекта, так и, для центрально-симметричных течений, отрицательной вихревой диффузии. Таким образом, спиральности полей (-Δ)βU или (-Δ)β rot U не контролируют способность соленоидального потока генерировать магнитное поле ни при каком действительном β (здесь Δ — оператор Лапласа).

Изоповерхности величины скорости |U| (верхний ряд) и завихренности |rot U| (верхний ряд) для двух модельных течений семейства L с ненулевым спектром спиральности на уровне 1/3 соответствующего максимума, для которых генерация короткомасштабного поля начинается в четном (левый столбец) или нечетном (правый столбец) инвариантном подпространстве. Показан один куб периодичности течения.

Течения семейства L имеют вид U = a∇b — b∇a, где a и b — собственные функции лапласиана, отвечающие одному и тому же собственному значению. При условии периодичности такие U принадлежат четному подпространству.

Максимальный инкремент γα роста в медленном времени длинномасштабных магнитных полей, генерируемых магнитным α-эффектом в двух модельных течениях семейства L. Точки показывают вычисленные γα. Тонкие вертикальные линии расположены в критических ηcrit начала генерации короткомасштабного магнитного поля в четном (сплошная линия) и нечетном (штриховая линия) инвариантном подпространстве; прерывистой линией на графике справа показаны инкременты γα в интервале между двумя ηcrit, в котором генерация длинномасштабного магнитного поля магнитным α-эффектом скрыта на фоне более быстрой генерации короткомасштабного поля в нечетном инвариантном подпространстве. В точке ηcrit в четном инвариантном подпространстве расположена вертикальная асимптота γα.

Изоповерхности поля скорости |U| (слева) и завихренности |rot U| (справа) для центрально-симметричного (и потому не обладающего α-эффектом) модельного течения семейства L с ненулевым спектром спиральности на уровнях 1/3 и 2/5 соответствующего максимума. Показан один куб периодичности течения.

Вверху: Минимальная магнитная вихревая диффузия ηeddy в модельном течении семейства L. Точки обозначают вычисленные ηeddy. Пунктирная линия — гипербола, найденная методом минимальных квадратов по 7 вычисленным величинам ηeddy в интервале 0.023≤η≤0.032. Внизу: доминирующие инкременты роста γsm короткомасштабных магнитных мод из центрально-симметричного (сплошная линия) и центрально-антисимметричного (штриховая линия) инвариантного подпространства, генерируемых этим течением. Темные (светлые) кружки обозначают, что соответствующие собственные значения оператора магнитной индукции действительны (комплексны). Тонкие вертикальные линии расположены в критических ηcrit начала генерации короткомасштабных магнитных полей в двух указанных инвариантных подпространствах. В точках ηcrit начала генерации в инвариантных подпространствах, где действительное собственное значение проходит через 0, расположены вертикальные асимптоты ηeddy.

Течения семейства C («косинусные течения») имеют компоненты u1 = n (b1 sin(ax) + a1 sin(bx)) cosnx3, u2 = n (b2 sin(ax) + a2 sin(bx)) cosnx3, u3 = -(ab) cos(ax) + cos(bx)) sinnx3. Было выделено 183 т.н. «основные» косинусные течения, в которых компоненты постоянных горизонтальных векторов a и b, а также волновое число n — целые числа от -3 до 3, и были наложены другие естественные условия — например, никакие два основные потока не переводятся друг в друга симметриями.

Гистограммы доминирующих инкрементов роста γsm короткомасштабных магнитных мод, генерируемых 183 основными косинусными течениями для η = 0.01 (черная сплошная линия), 0.02 (серая сплошная линия, область под которой показана серым) и 0.05 (синяя штриховая линия). Гистограммы минимальной магнитной вихревой диффузии ηeddy в этих течениях (сплошная линия) и в тех из них, которые при данном η не являются короткомасштабными динамо (синяя пунктирная линия).

Совместное распределение минимальной магнитной вихревой диффузии ηeddy и доминирующих инкрементов роста γsm короткомасштабных магнитных мод среди основных течений семейства С для η = 0.01 (звездочки), 0.02 (кружки), 0.05 (треугольники).

Публикации: Rasskazov A., Chertovskih R., Zheligovsky V. Magnetic field generation by pointwise zero-helicity three-dimensional steady flow of incompressible electrically conducting fluid. Phys. Rev. E, 97, 2018, 043201 [arxiv.org/abs/1708.08770]. Andrievsky A., Chertovskih R., Zheligovsky V. Pointwise vanishing velocity helicity of a flow does not preclude magnetic field generation. Phys. Rev. E, 99, 2019, 033204 [arxiv.org/abs/1811.00859].