17 ноября (четверг) 2022 года в 12:00 в очно-заочной форме состоится семинар на тему «Полоса с постоянными напряжениями на разрезе: точные решения». Докладчик: Кержаев А.П. (ИТПЗ РАН).
КОВАЛЕНКО М.Д., МЕНЬШОВА И.В., КЕРЖАЕВ А.П., Yu G.
Краевые задачи теории упругости для бесконечной полосы с различными граничными условиями на ее сторонах и с центральным поперечным разрезом, на котором заданы постоянные нормальные напряжения, были предметом многочисленных исследований. Однако точных решений, насколько известно авторам, построить не удалось. Практически все решения вначале сводились к сингулярным интегральным уравнениям, а затем – к приближенному решению соответствующей бесконечной системы алгебраических уравнений.
В настоящей работе построены точные решения трех краевых задач теории упругости для бесконечной полосы с центральным поперечным разрезом, на котором известны постоянные нормальные напряжения (четно-симметричная деформация). Рассмотрены три варианта однородных граничных условий на сторонах полосы: 1) свободные стороны, 2) жестко защемленные стороны, 3) на сторонах полосы имеются одинаковые ребра жесткости. Решения всех задач представляются в виде рядов по собственным функциям Папковича–Фадля, коэффициенты которых определяются по простым замкнутым формулам. Следуя методологии, рассмотренной в предыдущих публикациях авторов, проблема рассматривается как задача о контакте двух полуполос, когда на их стыке задан разрыв продольных перемещений. Все решения представляются рядами по собственным функциям Папковича–Фадля, которые точно удовлетворяют заданным однородным граничным условиям на сторонах полосы. При этом в граничных условиях на стыке полуполос (справа и слева) будут участвовать две полные минимальные системы базисных функций, объединение которых не минимально и, следовательно, не имеет биортогональной системы функций. Введением двух аналитических функций из неминимальной системы функций выделяется минимальная. К ней строится биортогональная система, с помощью которой легко находятся неизвестные коэффициенты разложений в ряды по собственным функциям Папковича–Фадля. Графически проиллюстрировано поведение решений в зависимости от граничных условий на длинных сторонах полосы и формы разрыва. Было замечено, что кривые, соответствующие решению для полосы с ребрами жесткости, занимают промежуточное положение между решениями для свободной и жестко защемленной полос. Показано, что по мере удаления от трещин решения затухают экспоненциально. Показано, что вне зависимости от граничных условий на длинных сторонах полосы решения вблизи горизонтальной оси полосы довольно близки.