Пространственная аналитичность при почти всех временах решений эволюционных уравнений диффузионной магнитогидродинамики дает возможность вывести новые оценки для этих решений и их производных по времени первого порядка.
В статье «Space analyticity and bounds for derivatives of solutions to the evolutionary equations of diffusive magnetohydrodynamics» В. Желиговский дал решения трех взаимосвязанных задач:
– перенести известные априорные оценки для производных произвольных порядков по пространственным переменным решений уравнения Навье – Стокса на пространственно-периодические решения уравнений диффузионной магнитогидродинамики;
– вывести аналогичные априорные оценки для производных произвольных порядков по пространственным переменным первой производной по времени аппроксимаций Фурье–Галеркина этих МГД решений и доказать, что слабые решения уравнений магнитогидродинамики удовлетворяют этим оценкам;
– выявить связь между этими оценками и пространственной аналитичностью МГД решений при почти всех временах.
Актуальная задача аналитического исследования турбулентности – вывод эмпирических соотношений, характеризующих это явление, из основополагающих уравнений гидродинамики (уравнений Эйлера и Навье – Стокса). Не решены и задачи «чистой» математики идентифицировать класс функций, в котором гарантированы существование и единственность решений, или получить ответ на родственный вопрос, могут ли в решениях развиться сингулярности за конечное время. Прогресс в решении этих задач невозможен без глубокого понимания поведения короткомасштабных структур в течениях.
Возможный подход к его изучению состоит в получении информации о нормах производных решений высокого порядка: чем порядок выше, тем сильнее соответствующая норма контролируется короткомасштабными компонентами решения.
В 1981 г. Фояш, Гийопе и Темам доказали априорные оценки для производных произвольных порядков по пространственным переменным решений уравнения Навье – Стокса. В рассматриваемой работе В. Желиговский применил оригинальный метод для вывода аналогичных оценок пространственных производных трехмерных пространственно-периодических решений эволюционных уравнений диффузионной магнитогидродинамики. Построения опираются на пространственную аналитичность решений при почти всех временах. Определена вспомогательная задача, некоторая соболевская норма решений которой ограничивает снизу размер области пространственной аналитичности в C3 решений исходной задачи. Такие же показатели αs=2/(2s–1), как и найденные в указанной выше работе для норм пространства Hs течений в гидродинамической задаче, возникают в МГД задаче (вследствие сходства квадратичных нелинейных членов в уравнении Навье – Стокса и в уравнении магнитной индукции). Этот же подход автор использовал для вывода априорных оценок пространственных производных произвольного порядка первой производной МГД решений по времени. Он доказал, что слабые решения, построенные как пределы приближений Фурье – Галеркина, удовлетворяют этим оценкам. Для этого в работе изучено множество времён (предполагаемых) сингулярностей слабых решений и доказано, что приближения равномерно сходятся в норме H1 на любом закрытом интервале внутри дополнения к этому множеству.
Источник: Zheligovsky V. Space analyticity and bounds for derivatives of solutions to the evolutionary equations of diffusive magnetohydrodynamics // Mathematics, 9, 2021, 1789 [arxiv.org/abs/2108.02746]