В журнале «Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik» (Web of Science Q3, Scopus Q2, Impact Factor JCR: 1.103) издательства Wiley-VCH вышла статья «Expansions in terms of Papkovich–Fadle eigenfunctions in the problem for a half-strip with stiffeners». Среди авторов – сотрудники ИТПЗ РАН: ведущий научный сотрудник, д.ф.-м.н. М.Д. Коваленко, старший научный сотрудник, к.ф.-м.н. И.В. Меньшова и старший научный сотрудник, к.ф.-м.н. А.П. Кержаев.
В статье построено точное решение краевой задачи теории упругости для полуполосы, у которой вдоль длинных сторон имеются одинаковые ребра жесткости, а нагрузка действует на её торце (четно-симметричная деформация). Решение представляется в виде рядов по собственным функциям Папковича–Фадля, коэффициенты которых определяются по замкнутым формулам. В решение входят два легко варьируемых параметра, характеризующие относительные жесткости ребер на растяжение-сжатие и изгиб. Окончательные формулы для напряжений и перемещений в пластине, а также для продольной и поперечной сил и изгибающего момента в ребрах просты и легко могут быть использованы в инженерном деле.
Исследование выполнено при поддержке Российского научного фонда (проект № 19-71-00094) и Российского фонда фундаментальных исследований совместно с Китайским научным фондом (проект № 20-51-53021).
Исследование проблем контактного взаимодействия в механике сплошных сред представляет важную задачу науки и техники, от решения которой во многом зависят успехи в машиностроении, строительстве, электронике, сейсморазведке и в других областях человеческой деятельности. Кроме того, широкий интерес к задачам контактного взаимодействия обусловлен не только важностью их технических приложений, но и внутренней логикой развития этого одного из современных разделов механики сплошной среды, что в свою очередь является сильнейшим стимулом развития соответствующих фундаментальных разделов математики.
В этой статье построено точное решение краевой задачи для полуполосы, у которой вдоль длинных сторон имеются одинаковые ребра. Их жесткости на растяжение-сжатие и изгиб учитываются двумя параметрами, входящими в выражения для характеристического уравнения краевой задачи и собственных функций Папковича–Фадля. В основе решения лежит теория разложений функций в ряды по собственным функциям Папковича–Фадля, развитая авторами ранее для гладкой полуполосы (без ребер жесткости).
Рассматриваются два класса раскладываемых функций: a) порождающие (целые) функции и b) функции общего вида. В статье к последнему классу отнесены наиболее часто встречающиеся в инженерных приложениях кусочно-непрерывные функции (в частности, дельта-функция и ее производные), равные нулю в окрестности угловых точек полуполосы. Коэффициенты Лагранжа для функций из класса a) находятся непосредственно из интегральных соотношений для определения биортогональных функций, а для функций из класса b) – с помощью финитных частей биортогональных функций. Если раскладываемые функции, т. е. заданные на торце полуполосы нормальные и касательные напряжения, принадлежат классу a), то решение краевой задачи всегда будет регулярным. Если же они из класса b), то нормальные напряжения должны быть самоуравновешены, т. к. в противном случае решение может оказаться нерегулярным в смысле определения Мусхелишвили. В статье показано, как нужно модифицировать коэффициенты Лагранжа для нормальных напряжений, чтобы решение краевой задачи было регулярным и для несамоуравновешенных нормальных напряжений. С формально-математической точки зрения регуляризация решения эквивалентна улучшению сходимости ряда Лагранжа для функций из класса b). Показано, что в полученном точном решении нет особенности для напряжений в угловых точках полуполосы, которая, как известно, есть в решении аналогичной краевой задачи для бесконечного клина, на одной грани которого имеется ребро жесткости, а к другой приложены напряжения.
Источник: Kovalenko M.D., Menshova I.V., Kerzhaev A.P., Yu G. Expansions in terms of Papkovich–Fadle eigenfunctions in the problem for a half-strip with stiffeners // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 2021. DOI: 10.1002/zamm.202000093