Разработка теоретических основ технологий создания «полезных» остаточных напряжений в элементах тонкостенных конструкций
Руководитель к.ф.-м.н. А.П. Кержаев
Проект направлен на решение следующих ключевых проблем: разработка принципиально новых математических методов решения бигармонической краевой проблемы теории упругости в прямоугольнике и построение на этой основе теории остаточных напряжений. Бигармоническая проблема для прямоугольника была и остается сложнейшей в теории упругости, в гидродинамике, в структурной инженерии и в математике. В математике она представляет собой эталонную проблему для различных аналитических и численных методов. Это важнейшая задача для тестирования уже существующих и разработки новых численных методов. Впервые примеры точных решений бигармонической проблемы, известной со времен Сен- Венана, были получены коллективом авторов (включая автора заявки) в последние несколько лет. Эти решения представляются в виде разложений по так называемым функциям Папковича–Фадля – собственным функциям краевой задачи. Научная новизна заключается в методе решения бигармонической проблемы. Предлагаемый метод не является развитием какого-либо из известных направлений. Его основу составляет разработанный автором (в соавторстве) аппарат преобразования Бореля в классе квазицелых функций экспоненциального типа (Kerzhaev A.P., Kovalenko M.D., Menshova I.V.: Borel transform in the class W of quasi-entire functions. Complex Anal. Oper. Theory 12(3), 571–587 (2018). doi: 10.1007/s11785-017-0643-y). Метод был продемонстрирован на примерах точных решений различных однородных краевых задач теории упругости в полуполосе и прямоугольнике (основных, смешанных, с разрывами сплошности). Его суть состоит в том, что к собственным функциям Папковича–Фадля можно построить биортогональные системы функций, с помощью которых в замкнутом виде (а не из решения бесконечных систем уравнений, как обычно) определяются неизвестные коэффициенты разложений. Тем самым получается точное решение бигармонической проблемы. Важнейшим следствием этого решения является теория остаточных напряжений – одна из ключевых проблем механики деформируемого твердого тела. Возможно, единственным ученым, заметившим связь между бигармонической проблемой и теорией остаточных напряжений, был классик теории упругости Д.И. Шерман (Шерман Д.И. Об одной задаче теории упругости // Доклады АН СССР. 1940. Т. 27, № 9. С. 907-913). Остаточные (начальные) напряжения есть практически везде: в сварных корпусах кораблей, в стволах артиллерийских орудий, в массивах горных пород. Они могут быть вызваны технологией изготовления, особенностями эксплуатации и т.д. В значительной степени начальные напряжения носят термоупругий характер. Самопроизвольное образование и развитие дефектов типа трещин, расслоений и т.п. во многих случаях вызвано именно температурными остаточными напряжениями. С разрядкой остаточных напряжений связаны такие катастрофические явления, как горные удары, внезапные обрушения при горнопроходческих работах и землетрясения. Здесь возникновение остаточных напряжений, как правило, обусловлено температурной предысторией формирования массива. Остаточные напряжения могут играть и определенную положительную роль, в частности, в строительной практике давно используют предварительно напряженные железобетонные изделия. Глубокое изучение остаточных напряжений и деформаций возможно лишь на основе строгих методов механики деформируемого твердого тела. Вместе с тем, соответствующие краевые задачи практически не ставились и не решались. Главная причина этого – отсутствие теории остаточных напряжений. Нельзя сказать, что математические модели не предлагались вовсе. Один из первых примеров ненулевого решения уравнений равновесия теории упругости с нулевыми граничными условиями был дан в статье (Гузев М.А., Ушаков А.А. Об одном классе ненулевых решений однородных уравнений равновесия механики деформируемого твердого тела // Фундаментальные и прикладные вопросы механики. Научная конференция, посвященная 70-летию со дня рождения акад. В.П. Мясникова. Владивосток. 2006. Доклад. С.43-44) и в работе (Макаров В.В. Деформационные предвестники геодинамических явлений в массивах горных пород // Вестник дальневосточного государственного технического университета. 2009. № 1(1). С. 38-47). Огромный практический опыт изучения остаточных напряжений в горной породе (в том числе температурных) накоплен группой ученых под руководством акад. Киргизской АН Айтматова И.Т. В частности, они полагают, что причиной тектонических землетрясений также, как и горных ударов, являются остаточные напряжения температурного генезиса. Но математических моделей, подтверждающих их догадки, пока нет. Актуальность проекта обусловлена тем, что рассматриваемые в проекте задачи относятся к числу важнейших, классических, нерешенных проблем механики и математики. Они представляют собой фундамент инженерных методов расчета на прочность, надежность и долговечность. Изучение природы, в частности, термоупругих остаточных напряжений в конечных областях, потенциально содержащих концентраторы напряжений (угловые точки области и точки смены типа граничных условий, трещины), поможет предложить пути совершенствования технологий с целью создания «полезных» остаточных напряжений и тем самым оптимизировать конструкцию.
Ссылки на публикации в рамках гранта: